正方形斷面面積為 A，承受剪力 V，則此斷面之最大剪應力為何？

本題考點

矩形（含正方形）斷面受剪力時的剪應力分布公式 τ = VQ/(Ib)，以及最大剪應力發生在中性軸、為平均剪應力 V/A 的 1.5 倍。

正解理由

梁斷面的剪應力並非均勻分布，而是依 τ = VQ/(Ib) 計算：上下緣處 Q 為零，剪應力為零；中性軸處 Q 最大，剪應力最大。設斷面寬 b、高 h（正方形 b = h），中性軸以上面積對中性軸的一次矩 Q = b × h/2 × h/4 = bh²/8，慣性矩 I = bh³/12，代入得 τmax = V × (bh²/8)/[(bh³/12) × b] = (12/8) × V/(bh) = 1.5 V/A，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   1.0 V/A：這是平均剪應力，相當於假設剪應力在整個斷面上均勻分布；實際分布是上下緣為零、中性軸最大的拋物線形，中性軸處的最大值大於平均值，應為 1.5 V/A。

2. (B)

   1.5 V/A：正確。矩形斷面中性軸處 Q = bh²/8、I = bh³/12，代入 τ = VQ/(Ib) 得 1.5 V/A；正方形是矩形 b = h 的特例，係數不變。

3. (C)

   2.0 V/A：數值大於矩形斷面的最大剪應力；由 τ = VQ/(Ib) 推得的係數是 12/8 = 1.5，不是 2.0，正確為 1.5 V/A。

4. (D)

   2.5 V/A：偏大更多，與矩形斷面拋物線分布的峰值不符；正確為 1.5 V/A。

演算步驟

1. ① 公式：τ = VQ/(Ib)，V 單位 kN、Q 單位 m³、I 單位 m⁴、b 單位 m，τ 單位 kN/m²。
2. ② 中性軸一次矩：Q = (b × h/2) × (h/4) = bh²/8（m³）。
3. ③ 慣性矩：I = bh³/12（m⁴）。
4. ④ 代入：τmax = V × (bh²/8)/[(bh³/12) × b] = V × (12/8)/(bh) = 1.5 V/(bh)（kN/m²）。
5. ⑤ 以 A = bh（m²）表示：τmax = 1.5 V/A（kN/m²）。

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