承上題，若材料的降伏強度為 50 MPa，梁斷面寬度與深度分別為 6 cm 及 12 cm，則上述兩種載重造成下列何種結果？

本題考點

比較簡支梁在兩種載重下的最大彎矩（跨中集中載重 P L / 4、全跨均布載重 w L² / 8）與矩形斷面的降伏彎矩 M_y = F_y × S（S = b h² / 6），判定哪一種載重使梁彎矩降伏。

正解理由

先求斷面的降伏彎矩：S = b h² / 6 = 6 cm × (12 cm)² / 6 = 144 cm³ = 0.000144 m³，F_y = 50 MPa = 50000 kN/m²，M_y = 50000 kN/m² × 0.000144 m³ = 7.2 kN·m。再求兩種載重的最大彎矩：A 形式 M_A = 10 kN × 5 m / 4 = 12.5 kN·m；B 形式 M_B = 2 kN/m × (5 m)² / 8 = 6.25 kN·m。M_A = 12.5 kN·m 大於 M_y = 7.2 kN·m，最外緣纖維已達降伏強度；M_B = 6.25 kN·m 小於 M_y，梁仍在彈性範圍。因此只有 A 載重造成彎矩降伏，故選 A。

逐項排除

1. (A)

   僅 A 載重造成彎矩降伏：正確。M_A 超過 M_y，M_B 未達 M_y，符合題目所問。

2. (B)

   僅 B 載重造成彎矩降伏：兩處都與計算結果相反。B 的最大彎矩 6.25 kN·m 低於降伏彎矩 7.2 kN·m，不會降伏；A 的最大彎矩 12.5 kN·m 高於降伏彎矩，反而會降伏。應改為「僅 A 載重造成彎矩降伏」。

3. (C)

   兩種載重都造成梁彎矩降伏：A 會降伏這一半成立，但 B 的最大彎矩 6.25 kN·m 小於 7.2 kN·m，B 載重下梁仍維持彈性，所以「兩種都降伏」不成立。

4. (D)

   兩種載重下梁都維持彈性：B 維持彈性這一半成立，但 A 的最大彎矩 12.5 kN·m 已超過 7.2 kN·m，A 載重下梁已降伏，所以「兩種都彈性」不成立。

演算步驟

1. 斷面模數：S = b h² / 6 = 6 cm × 12 cm × 12 cm / 6 = 144 cm³
2. 單位換算：S = 144 cm³ = 144 / 1000000 m³ = 0.000144 m³；F_y = 50 MPa = 50 × 1000 kN/m² = 50000 kN/m²
3. 降伏彎矩：M_y = F_y × S = 50000 kN/m² × 0.000144 m³ = 7.2 kN·m
4. A 形式最大彎矩：M_A = P L / 4 = 10 kN × 5 m / 4 = 12.5 kN·m
5. B 形式最大彎矩：M_B = w L² / 8 = 2 kN/m × 5 m × 5 m / 8 = 6.25 kN·m
6. 比較：M_A = 12.5 kN·m > M_y = 7.2 kN·m（降伏）；M_B = 6.25 kN·m < M_y = 7.2 kN·m（彈性）
7. 結果：僅 A 載重造成彎矩降伏。

記憶點