一簡支梁跨距為 5 m，分別受到以下兩種載重形式：（A）跨距中央受到集中載重 10 kN（B）全梁受到均布載重 2 kN/m。試問 A 載重形式下所產生的最大變形為 B 所產生的最大變形的幾倍？

本題考點

簡支梁在跨中集中載重與全跨均布載重下的最大撓度公式 Δ = P L³ / (48 E I) 與 Δ = 5 w L⁴ / (384 E I)，並以比值消去相同的 E I。

正解理由

兩種載重作用在同一根簡支梁上，E 與 I 相同，最大撓度都發生在跨中。A 形式：Δ_A = P L³ / (48 E I)，P L³ = 10 kN × (5 m)³ = 1250 kN·m³，Δ_A × E I = 1250 / 48 = 26.04 kN·m³。B 形式：Δ_B = 5 w L⁴ / (384 E I)，w L⁴ = 2 kN/m × (5 m)⁴ = 1250 kN·m³，Δ_B × E I = 5 × 1250 / 384 = 16.28 kN·m³。兩者相除 Δ_A / Δ_B = 26.04 / 16.28 = 1.6，也就是 8/5 倍；直接化簡公式也可得 Δ_A / Δ_B = 8 P / (5 w L) = 80 / 50 = 1.6，故選 A。

逐項排除

1. (A)

   8/5 倍：正確。依兩個撓度公式代入，比值為 1.6 = 8/5，符合題目所問。

2. (B)

   4/3 倍：小於正確比值 8/5，數值與兩個撓度公式的計算結果不符。兩種載重的總載重都是 10 kN，差別只在分布方式，正確的放大倍數由公式係數與載重、跨距共同決定，應為 8/5 倍。

3. (C)

   1.5 倍：與正確比值接近但仍偏小，代入撓度公式後算不出這個值；正確為 1.6 倍，也就是 8/5 倍。

4. (D)

   3/4 倍：小於 1，表示 A 的撓度比 B 小，方向就錯了。同樣總載重集中在跨中，彎矩比均布時大，撓度也較大，比值必須大於 1，正確為 8/5 倍。

演算步驟

1. 公式：跨中集中載重 Δ_A = P L³ / (48 E I)；全跨均布載重 Δ_B = 5 w L⁴ / (384 E I)
2. A：P L³ = 10 kN × 5 m × 5 m × 5 m = 1250 kN·m³，Δ_A × E I = 1250 kN·m³ / 48 = 26.04 kN·m³
3. B：w L⁴ = 2 kN/m × 5 m × 5 m × 5 m × 5 m = 1250 kN·m³，Δ_B × E I = 5 × 1250 kN·m³ / 384 = 16.28 kN·m³
4. 比值：Δ_A / Δ_B = 26.04 kN·m³ / 16.28 kN·m³ = 1.6
5. 化簡驗算：Δ_A / Δ_B = 8 P / (5 w L) = (8 × 10 kN) / (5 × 2 kN/m × 5 m) = 80 / 50 = 1.6 = 8/5
6. 結果：A 載重形式的最大撓度為 B 的 8/5 倍。

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