一長度為 2 m 圓棒，直徑為 30 mm，彈性模數為 70 GPa，波松比（Poisson's ratio）0.3，當其受到 100 kN 拉力時，下列敘述何者正確？

本題考點

均勻斷面桿件受軸向拉力時的軸向應力 σ = P / A、伸長量 δ = PL / (AE)、軸向勁度 k = AE / L，以及以波松比由軸向應變推得橫向應變與直徑變化量。

正解理由

先求圓棒截面積，再依序算出應力、伸長量、勁度與直徑變化。截面積 A = π × 30² / 4 ≈ 706.86 mm²；軸向應力 σ = 100000 N / 706.86 mm² ≈ 141.47 MPa；軸向應變為 σ / E，橫向應變為波松比乘上軸向應變，約 0.0006063（直徑方向為縮小）；直徑減少量 = 30 mm × 0.0006063 ≈ 0.0182 mm，四捨五入後即 0.018 mm，與 (D) 相符。故選 D。

逐項排除

1. (A)

   錯誤。軸向應力 = 100000 N / 706.86 mm² ≈ 141.47 MPa，不是 120 MPa；選項數值比正確值偏小，正確敘述應為「軸向應力約為 141.5 MPa」。

2. (B)

   錯誤。伸長量 δ = PL / (AE) = 100000 N × 2000 mm / (706.86 mm² × 70000 N/mm²) ≈ 4.04 mm，選項的 2 mm 明顯偏小，正確敘述應為「伸長量約為 4.04 mm」。

3. (C)

   錯誤。軸向勁度 k = AE / L = 706.86 mm² × 70000 N/mm² / 2000 mm ≈ 24.74 kN/mm，不是 20 kN/mm；正確敘述應為「軸向勁度約為 24.7 kN/mm」。可用 P / δ 交叉檢查：100 kN / 4.04 mm 也落在約 24.7 kN/mm。

4. (D)

   正確。直徑減少量 = ν × (σ / E) × d ≈ 0.0182 mm，即 0.018 mm；拉力使桿件軸向伸長、橫向收縮，所以是「減少」，方向也正確。

演算步驟

1. ① 單位統一：P = 100 kN = 100000 N，L = 2 m = 2000 mm，E = 70 GPa = 70000 MPa = 70000 N/mm²，d = 30 mm。
2. ② 截面積：A = π d² / 4 = 3.1416 × 30 mm × 30 mm / 4 ≈ 706.86 mm²。
3. ③ 軸向應力：σ = P / A = 100000 N / 706.86 mm² ≈ 141.47 N/mm² = 141.47 MPa。
4. ④ 伸長量：δ = PL / (AE) = 100000 N × 2000 mm / (706.86 mm² × 70000 N/mm²) ≈ 4.04 mm。
5. ⑤ 軸向勁度：k = AE / L = 706.86 mm² × 70000 N/mm² / 2000 mm ≈ 24.74 kN/mm。
6. ⑥ 橫向應變：ε橫 = ν × σ / E = 0.3 × 141.47 MPa / 70000 MPa ≈ 0.0006063（無單位）。
7. ⑦ 直徑減少量：Δd = ε橫 × d = 0.0006063 × 30 mm ≈ 0.0182 mm ≈ 0.018 mm。

記憶點