小巨蛋演唱會彩排進行時，舞台上 3 組分散式監聽揚聲器同時驅動，測得聲壓級均為 80 dB，試算舞台上所測得總聲能最接近多少 dB？

本題考點

多個聲源同時發聲時的聲壓級合成——分貝是對數量，不能直接相加，必須先換回聲能相加，再取對數；n 個相同聲壓級 L 的聲源合成後為 L + 10 log n。

正解理由

分貝的定義是 L = 10 log(I / I₀)，代表的是聲能（聲強）相對於基準值的對數比。三組揚聲器分散擺放、彼此不相干，它們的聲能可以直接相加，但分貝值不行。每組 80 dB，相當於聲能比為 10 的 8 次方（80 / 10 = 8），三組合計為 3 × 100000000 = 300000000；再取對數得 10 × log(300000000) = 10 × (8 + 0.477) = 84.77 dB，其中 0.477 為 log 3 的近似值。等價的簡式是 80 + 10 log 3 = 80 + 4.77 = 84.77 dB，最接近 85 dB，與選項 (B) 相符，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   80 dB：等於把三組聲源合成後的總聲壓級當成與單一聲源相同，忽略了聲能是會相加的；三組同時發聲，總聲能比單組大，總聲壓級應高於 80 dB，約為 84.77 dB。

2. (B)

   85 dB：先把每組 80 dB 換成聲能、三組相加後再取對數，得 84.77 dB，四捨五入最接近 85 dB，為本題所求。

3. (C)

   90 dB：高於正確值 84.77 dB 甚多，等於高估了三組聲源合成後的增量；三組相同聲壓級的聲源合成，只比單組多出 10 log 3，也就是 4.77 dB。

4. (D)

   95 dB：比 (C) 更高，高估更明顯；正確的合成結果仍為 84.77 dB，最接近 85 dB。

演算步驟

1. 公式：L總 = 10 log(Σ10^(Li/10))；n 個相同聲壓級 L 時，L總 = L + 10 log n
2. 換成聲能比：80 dB / 10 = 8，每組聲能比為 100000000
3. 聲能相加：3 × 100000000 = 300000000
4. 取對數：L總 = 10 × (8 + 0.477) dB = 84.77 dB
5. 驗算：80 dB + 10 × 0.477 dB = 80 dB + 4.77 dB = 84.77 dB
6. 結果：最接近 85 dB

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