有一長度為 L，直徑為 d 之圓桿，彈性模數為 E，波松比（Poisson’s ratio）為 v，受到軸向拉力 P，下列敘述何者正確？

本題考點

圓桿受軸向拉力時的材料力學基本關係，包括剪力彈性模數 G 與 E、ν 的換算、波松效應造成的橫向（直徑）變化，以及體積應變與 1−2ν 的關係。題目中的波松比記作 v，以下寫成 ν。

正解理由

先建立縱向應變：軸向拉力 P 作用在斷面積 A 上，軸向應力為 P/A，縱向應變 ε = P/(AE)。波松效應使橫向應變為 −νε，也就是桿件拉長的同時變細。小變形下，體積應變等於三個方向應變之和：ε + (−νε) + (−νε) = ε(1−2ν)。原體積 V = (π/4)d²L，所以體積改變量 ΔV = V·ε(1−2ν) = (π/4)d²L·P(1−2ν)/(AE)，與選項 (C) 的式子完全一致。故選 C。

逐項排除

1. (A)

   錯誤。均質等向性線彈性材料的三個彈性常數關係為 G = E/[2(1+ν)]，分母是 2 乘上 (1+ν)，不是 (1+2ν)。選項把係數 2 放錯位置，改成 G = E/[2(1+ν)] 才對。

2. (B)

   錯誤。直徑變化量 = 橫向應變 × 直徑 = νε·d = νPd/(EA)，選項多乘了一個 2；而且受拉時直徑是縮小，變化量應帶負號或註明為減少。改成「直徑減少 νPd/(EA)」才對。

3. (C)

   正確。如正解理由所推，ΔV = (π/4)d²L·P(1−2ν)/(AE)，即原體積乘上體積應變 ε(1−2ν)，與選項所列式子相同。

4. (D)

   錯誤。體積應變為 ε(1−2ν)，受拉時 ε 為正，而一般材料的波松比使 1−2ν 不為負，因此受拉桿的體積是增加（至多不變），不會減少。縱向伸長的效果大於兩個橫向收縮的合計，選項方向相反，應改為「體積增加」。

記憶點