某懸臂梁長 3 m，承受均布載重 w。今將長度改為 6 m，仍承受均布載重 w，其他條件不變，則此梁之自由端變位為原來梁之幾倍？

本題考點

懸臂梁承受均布載重時自由端變位 δ = wL⁴ / (8EI)，變位與梁長的四次方成正比，用比例法求長度改變後的倍數。

正解理由

懸臂梁承受均布載重 w 時，自由端變位 δ = wL⁴ / (8EI)。題目說 w、E、I 及其他條件都不變，只有梁長由 3 m 改為 6 m，因此兩者的變位比等於梁長比的四次方：δ₂ / δ₁ = (6 m ÷ 3 m)⁴ = 16，自由端變位為原來的 16 倍，故選 C。

逐項排除

1. (A)

   不符合。4 是梁長比的平方 (6 ÷ 3)²，等於把變位當成與梁長平方成正比；均布載重懸臂梁的變位與梁長的四次方成正比，正確倍數應為 16。

2. (B)

   不符合。8 是梁長比的三次方 (6 ÷ 3)³，那是懸臂梁自由端承受「集中載重」時變位與梁長三次方成正比的關係；本題是均布載重，載重總量也隨梁長增加，必須用四次方，正確倍數應為 16。

3. (C)

   符合。依 δ = wL⁴ / (8EI)，梁長加倍、其餘不變，變位比為 (6 ÷ 3)⁴ = 16。

4. (D)

   不符合。32 比正確值 16 多了一倍，不是均布載重懸臂梁變位與梁長四次方成正比所得的結果；正確倍數應為 16。

演算步驟

1. ① 公式：懸臂梁均布載重自由端變位 δ = wL⁴ / (8EI)
2. ② 其餘條件不變，δ 只與 L⁴ 成正比：δ₂ / δ₁ = (L₂ / L₁)⁴
3. ③ 代入：δ₂ / δ₁ = (6 m ÷ 3 m)⁴ = 16
4. ④ 結果：自由端變位為原來的 16 倍

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