一簡支梁跨距長 L，受到均勻分布載重 w 之作用。若其他條件不變，載重改為梁中央受集中外力 P = wL 作用，則梁中央之彎矩為原來的幾倍？

本題考點

簡支梁在「均布載重」與「跨中集中載重」兩種情況下的跨中最大彎矩公式，並在總載重相同（P = wL）的條件下比較兩者的倍數。

正解理由

簡支梁受均布載重 w 時，跨中彎矩為 M₁ = wL²/8；改為跨中受集中外力 P 時，跨中彎矩為 M₂ = PL/4。題目給定 P = wL，代入得 M₂ = wL × L/4 = wL²/4。兩者相比 M₂/M₁ = (wL²/4)/(wL²/8) = 2，也就是同樣大小的總載重集中作用在跨中時，跨中彎矩為均布時的 2 倍，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   2/3：倍數小於 1，表示改成集中載重後跨中彎矩反而變小，方向與力學結果相反；總載重相同時，集中在跨中的載重對跨中產生的彎矩較大，正確倍數為 2。

2. (B)

   1：表示兩種載重形式的跨中彎矩相等；但兩者總載重雖同為 wL，作用位置不同，均布載重有一部分落在靠近支承處，對跨中斷面的力矩臂較短，跨中彎矩只有 wL²/8，與集中載重的 wL²/4 並不相等，正確倍數為 2。

3. (C)

   5/8：同樣小於 1，方向錯誤；本題比較的是跨中彎矩，比值必須由 wL²/4 除以 wL²/8 得出，結果為 2，不是小於 1 的分數。

4. (D)

   2：正確。跨中集中載重的彎矩 wL²/4 除以均布載重的彎矩 wL²/8，恰為 2 倍。

演算步驟

1. ① 均布載重：兩端反力 R = wL/2（單位 kN），取左半跨自由體，跨中彎矩 M₁ = R × L/2 − (w × L/2) × L/4 = wL²/4 − wL²/8 = wL²/8（單位 kN·m）。
2. ② 集中載重：兩端反力 R = P/2（kN），跨中彎矩 M₂ = (P/2) × (L/2) = PL/4（kN·m）；代入 P = wL（kN），M₂ = wL²/4（kN·m）。
3. ③ 倍數：M₂/M₁ = (wL²/4)/(wL²/8) = (1/4)/(1/8) = 2（無因次）。

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