一受均布載重的簡支矩形梁，若承載能力由梁斷面的開裂應力所控制，當梁寬不變而梁深加倍，且不計梁自重時，則梁深增加後均布載重的承載能力為原梁的幾倍？

本題考點

簡支梁受均布載重、承載能力由斷面開裂應力控制時，可承受的彎矩與斷面模數成正比；矩形斷面的斷面模數與梁寬一次方、梁深平方成正比。

正解理由

「開裂應力控制」的意思是：梁斷面最外緣的彎曲拉應力 σ = M / S 一達到開裂應力 f_r，梁就到達承載能力，所以可承受的最大彎矩 M_cr = f_r × S。矩形斷面的斷面模數 S = b h² / 6，梁寬 b 不變、梁深由 h 變成 2h，S 變成原來的 2 × 2 = 4 倍；材料相同，f_r 不變，M_cr 也就變成 4 倍。簡支梁受均布載重 w 時，跨中最大彎矩 M = w L² / 8，跨距 L 不變、又不計自重，可承受的均布載重 w = 8 M_cr / L² 與 M_cr 成正比，因此均布載重承載能力同樣變成原梁的 4 倍，故選 C。

逐項排除

1. (A)

   1 倍：等於認為梁深加倍對開裂承載能力毫無影響，忽略了斷面模數隨梁深改變。梁深進入 S 的方式是平方，加深必然提高承載能力，正確倍數是 4 倍。

2. (B)

   2 倍：這個值相當於以斷面積 b × h 的比例去推，得 (1 × 2) / (1 × 1) = 2。但開裂由彎曲應力控制，起作用的是斷面模數而不是斷面積；斷面積只與梁深一次方成正比，斷面模數則是平方，應改為 4 倍。

3. (C)

   4 倍：正確。S 隨梁深平方放大為 4 倍，M_cr 與可承受的均布載重都跟著放大為 4 倍，符合題目所問。

4. (D)

   8 倍：這是把慣性矩 I = b h³ / 12 的比例 (1 × 2 × 2 × 2) / (1 × 1 × 1 × 1) = 8 當成承載能力比例。慣性矩決定的是勁度與撓度；應力 σ = M c / I 中的 c = h / 2 也同時加倍，兩者相除後 S = I / c 只放大 4 倍，所以強度比是 4 倍而不是 8 倍。

演算步驟

1. 開裂彎矩公式：M_cr = f_r × S，矩形斷面 S = b h² / 6（b、h 以 cm 計，S 單位為 cm³）
2. 原梁：S₁ = b × h² / 6（cm³）
3. 新梁：S₂ = b × (2h)² / 6 = 4 × b h² / 6（cm³）
4. 斷面模數比：S₂ / S₁ = (2 × 2) / (1 × 1) = 4（無單位）
5. 均布載重承載能力：w = 8 M_cr / L²（kN/m），L 與 f_r 不變，w₂ / w₁ = M_cr2 / M_cr1 = S₂ / S₁ = 4
6. 結果：梁深加倍後，均布載重承載能力為原梁的 4 倍。

記憶點