均質材料之柏松比（poisson ratio）定義為構件受拉伸或壓縮力時，其橫向應變與縱向應變的絕對比值，以符號 v 表示，則其範圍為何？

本題考點

均質等向性彈性材料之柏松比（ν，題目以 v 表示）的定義與合理範圍；判斷關鍵在於「材料受拉時體積不可減少」這個物理限制，由此推得上限 0.5，而一般工程材料受拉時橫向收縮，故下限為 0。

正解理由

柏松比是橫向應變與縱向應變的絕對比值。把一根均質桿件沿縱向拉長，縱向應變為 ε，各橫向各收縮 νε，各方向的應變相加即為體積應變：ε − νε − νε ＝ ε（1 − ν − ν）。對穩定的均質材料而言，受拉時體積只能增加或維持不變，不能變小，所以括號內的「1 − ν − ν」不得為負，ν 最大只能到 0.5；剛好等於 0.5 時體積完全不變，代表理想的不可壓縮材料（如橡膠接近此值）。另一方面，一般工程材料受拉時橫向必然變細、受壓時橫向必然膨脹，橫向應變與縱向應變方向相反，取絕對比值後 ν 為正，故下限為 0。上下限合起來，均質材料的柏松比落在 0 與 0.5 之間，與選項 (A) 相符，故選 A。

逐項排除

1. (A)

   0＜ν＜0.5：下限 0 對應「受拉時橫向不收縮」的極端，上限 0.5 對應「體積不變」的不可壓縮極端，鋼材約 0.3、混凝土較鋼材更小、橡膠接近 0.5，都落在此區間內。符合題目所問。

2. (B)

   0＜ν＜1.0：下限正確，但上限放寬到 1.0。區間中 0.5 到 1.0 那一段代入「1 − ν − ν」會得到負值，表示材料被拉長時體積反而縮小，違反穩定材料的物理限制；要成立，上限必須改回 0.5。不符合題目所問。

3. (C)

   0.5＜ν＜1.0：整個區間都落在上限 0.5 之外，代表受拉時體積減小，均質穩定材料不可能出現；而且它把鋼材（約 0.3）、混凝土這些最常見的結構材料全部排除在外。上下限都錯，正確應為下限 0、上限 0.5。不符合題目所問。

4. (D)

   0.3＜ν＜0.8：上下限都錯。下限 0.3 太高，會把柏松比低於鋼材的混凝土、軟木等材料排除，正確下限是 0；上限 0.8 超過 0.5，同樣會讓受拉體積變小。這個區間看起來像「常見材料的數值附近」，但題目問的是理論範圍，不是常見值。不符合題目所問。

記憶點