一簡支梁斷面寬 100 mm，深度 150 mm，所在某一位置斷面的彎矩 100 kN-m，關於此斷面的敘述，下列何者正確？

本題考點

矩形斷面的斷面模數 S = bh²/6、斷面慣性矩 I = bh³/12，以及彎曲應力 σ = M / S 的單位換算與正負號判讀。

正解理由

矩形斷面寬 b = 100 mm、深 h = 150 mm，先求斷面模數 S = bh²/6 = 375000 mm³；再把彎矩 M = 100 kN-m 換成 N·mm，除以 S 得到斷面最外緣的最大彎曲應力約 266.7 N/mm²，N/mm² 即 MPa，因此最大應力為 266.7 MPa，與選項(C)的敘述相符，故選 C。

逐項排除

1. (A)

   錯誤。S = bh²/6 = 100 mm × 150 mm × 150 mm ÷ 6 = 375000 mm³，換成 cm³ 要除以 1000，得 375 cm³，不是 325 cm³。正確敘述應為「斷面模數 S = 375 cm³」。

2. (B)

   錯誤。I = bh³/12 = 100 mm × 150 mm × 150 mm × 150 mm ÷ 12 = 28125000 mm⁴，換成 cm⁴ 要除以 10000，得 2812.5 cm⁴，不是 2100 cm⁴。正確敘述應為「斷面慣性矩 I = 2812.5 cm⁴」。

3. (C)

   正確。σ = M / S = (100 × 1000 × 1000 N·mm) ÷ 375000 mm³ ≈ 266.7 N/mm²，即 266.7 MPa，為斷面最外緣纖維的應力，數值與選項完全一致。

4. (D)

   錯誤。矩形斷面上下對稱，中性軸通過形心，上緣與下緣到中性軸的距離相同，所以最大拉應力與最大壓應力大小相等、正負相反。斷面的最小（代數值最小）應力是受壓側的 -266.7 MPa，不是 -310.5 MPa；選項數值的絕對值與最大應力不同，本身就與對稱斷面的應力分布不合。正確敘述應為「斷面最小應力為 -266.7 MPa」。

演算步驟

1. ① 斷面模數：S = bh²/6 = 100 mm × (150 mm)² ÷ 6 = 375000 mm³ = 375 cm³
2. ② 斷面慣性矩：I = bh³/12 = 100 mm × (150 mm)³ ÷ 12 = 28125000 mm⁴ = 2812.5 cm⁴
3. ③ 彎矩換算：M = 100 kN-m = 100 × 1000 × 1000 N·mm
4. ④ 最大應力：σmax = M / S = (100 × 1000 × 1000 N·mm) ÷ 375000 mm³ ≈ 266.7 N/mm² = 266.7 MPa
5. ⑤ 最小應力：σmin = -M / S ≈ -266.7 MPa（受壓側）

記憶點