有一柱，若其有效長度及挫屈載重分別為 KL 與 Pcr ，今將其有效長度增加一倍為 2 KL ，則該柱之挫屈載重為：

本題考點

彈性挫屈的尤拉（Euler）臨界載重公式 Pcr = π²EI／(KL)²，重點在挫屈載重與有效長度的「平方成反比」關係。

正解理由

尤拉公式顯示，柱的挫屈載重由三個因素決定：材料的彈性模數 E、斷面的慣性矩 I，以及有效長度 KL。其中 E 與 I 出現在分子，代表材料越硬、斷面越能抵抗彎曲，挫屈載重越高；有效長度 KL 則以平方的形式出現在分母。題目只改變有效長度，由 KL 變成 2KL，柱的材料與斷面沒有改變，所以 π²EI 這一整項維持不變。把 2KL 代入分母，分母變成 (2KL)² = 4(KL)²，等於原分母的 4 倍；

分子不變、分母放大 4 倍，挫屈載重就變成原來的 1／4，也就是 Pcr／4。換句話說，挫屈載重與有效長度的平方成反比：長度變成 2 倍，載重變成 1／(2×2) = 0.25 倍。故選 B。

逐項排除

1. (A)

   Pcr／2：這個結果相當於把挫屈載重當成與有效長度的一次方成反比，即 1／2 = 0.5 倍。尤拉公式中有效長度是以平方出現在分母，不是一次方，所以長度加倍時載重下降的幅度比一半更大。要得到正確結果，必須把長度的倍數平方後再取倒數，答案是 Pcr／4，不是 Pcr／2，本選項不符合題目所問。

2. (B)

   Pcr／4：分子 π²EI 不變，分母由 (KL)² 變為 (2KL)²，放大 4 倍，挫屈載重成為原來的 0.25 倍，即 Pcr／4，與計算結果相符，符合題目所問。

3. (C)

   Pcr／8：這個結果相當於把挫屈載重當成與有效長度的三次方成反比，即 1／(2×2×2) = 0.125 倍。尤拉公式中長度的次方是 2，不是 3；三次方的關係出現在懸臂梁端點撓度與梁長的關係中，與柱的挫屈載重是不同的概念。正確倍數是 0.25 倍，本選項只有正確值的一半，不符合題目所問。

4. (D)

   Pcr／16：16 倍是長度倍數的四次方，相當於 0.0625 倍，比正確的 0.25 倍小了 4 倍。尤拉公式分母只有有效長度的平方，長度加倍時分母只放大 4 倍，不會放大 16 倍；本選項把載重下降的幅度高估了，不符合題目所問。

演算步驟

1. 1. 公式：尤拉臨界挫屈載重 Pcr = π²EI／(KL)²（E 為彈性模數，I 為慣性矩，KL 為有效長度）。
2. 2. 原狀態：有效長度 KL，挫屈載重 Pcr = π²EI／(KL)²。
3. 3. 新狀態：有效長度改為 2KL，挫屈載重 Pcr' = π²EI／(2KL)² = π²EI／[4(KL)²]。
4. 4. 取比值：Pcr'／Pcr = (KL)²／(2KL)² = 1／(2×2) = 0.25。
5. 5. 結果：Pcr' = 0.25 × Pcr = Pcr／4，對應選項 (B)。

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