有一矩形梁斷面，梁寬 30 cm，梁高 60 cm。已知材料之彈性係數為 20,000 kgf/cm2。如欲使得該斷面於梁頂與梁底處分別產生 0.003 的壓應變與張應變，則該斷面所須施加的彎矩力應為多少 kgf-cm？

本題考點

均質線彈性材料矩形梁的撓曲應力公式 σ = M / S（S 為斷面模數），配合虎克定律 σ = E × ε，由題目指定的最外緣應變反推所需彎矩。

正解理由

題目要求梁頂產生壓應變、梁底產生張應變，且兩者大小都是 0.003，代表應變沿梁深呈直線分布、在斷面中央歸零，中性軸就在梁高的一半處，屬於純彎矩作用下的線彈性撓曲。解題分兩段：第一段用虎克定律把最外緣應變換成最外緣應力，彈性係數 20000 kgf/cm² 乘以 0.003，得最外緣應力 60 kgf/cm²；第二段用撓曲公式，把最外緣應力乘上矩形斷面的斷面模數。斷面模數等於梁寬乘以梁高平方再除以 6，梁寬 30 cm、梁高 60 cm 代入得 18000 cm³。

最外緣應力乘斷面模數，得所需彎矩 1080000 kgf-cm，正好等於選項 (B) 的數值。由於應力與應變、彎矩與應力在彈性範圍內都是線性關係，彎矩比這個值小，外緣應變就達不到 0.003；比這個值大，外緣應變就超過 0.003，所以題目所求只有一個值，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   960,000 kgf-cm：比正確彎矩小。在線彈性範圍內，外緣應力與彎矩成正比，施加此彎矩時外緣應力低於 60 kgf/cm²，梁頂、梁底的應變都達不到 0.003，不符題目所問；要讓外緣應變恰為 0.003，彎矩應為 1,080,000 kgf-cm。

2. (B)

   1,080,000 kgf-cm：等於 E × ε × b × h² / 6 的計算結果，此時外緣應力恰為 60 kgf/cm²，對應的梁頂壓應變與梁底張應變恰為 0.003，符合題目所問。

3. (C)

   1,200,000 kgf-cm：比正確彎矩大，外緣應力會高於 60 kgf/cm²，梁頂、梁底的應變都會超過 0.003，不符題目所問；正確彎矩應為 1,080,000 kgf-cm。

4. (D)

   1,360,000 kgf-cm：比正確彎矩更大，與正確值的差距在四個選項中最遠，外緣應變超過 0.003 更多，不符題目所問；正確彎矩應為 1,080,000 kgf-cm。

演算步驟

1. (1) 虎克定律求最外緣應力：σ = E × ε = 20000 kgf/cm² × 0.003 = 60 kgf/cm²。
2. (2) 矩形斷面模數：S = b × h × h / 6 = 30 cm × 60 cm × 60 cm / 6 = 18000 cm³。
3. (3) 撓曲公式求彎矩：M = σ × S = 60 kgf/cm² × 18000 cm³ = 1080000 kgf-cm。
4. (4) 以慣性矩驗算：I = b × h × h × h / 12 = 30 cm × 60 cm × 60 cm × 60 cm / 12 = 540000 cm⁴；中性軸到外緣距離 c = h / 2 = 60 cm / 2 = 30 cm；M = σ × I / c = 60 kgf/cm² × 540000 cm⁴ / 30 cm = 1080000 kgf-cm，與步驟 3 一致。

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